iPhone / iPad app voor FOM-AMOLF
Opgeleverd op 30 augustus 2011 voor FOM-AMOLF
Voor het FOM instituut AMOLF ontwikkelden wij een iPhone en iPad app die gebruikt zal worden om de werking en het gedrag van 2-dimensionale Fourieranalyse op studentensymposia te illustreren. Omdat de app gratis is kan echter iedereen hem downloaden.
In het dagelijks leven wordt Fouriertransformatie onder andere gebruikt bij MRI-scanners, MP3 en JPEG compressie en de visualisatie van equalizers.
Fourieranalyse
De Fourieranalyse is een wiskundige techniek waarmee wordt berekend uit welke golffuncties een signaal is opgebouwd. (1-dimensionale) Fourieranalyse kan bijvoorbeeld gebruikt worden om uit te rekenen uit welke golffuncties een geluidssignaal is opgebouwd. Uit de Fourieranalyse volgt dan hoeveel lage frequenties (de bas-tonen) er in het geluid zitten, hoeveel midden en hoeveel hoge frequenties aanwezig zijn. Deze informatie kan vervolgens bijvoorbeeld gebruikt worden om in een grafische equalizer te visualiseren hoeveel de verschillende frequentiegebieden voorkomen in het geluidssignaal:
Een belangrijke eigenschap van de Fourieranalyse is nu dat als bovenstaande equalizer 'fijn' genoeg is (je weet precies hoeveel elke frequentie in het originele signaal voorkomt) je in staat bent het oorspronkelijke geluidssignaal uit deze informatie te reconstureren.
iPhone en iPad app
Met de 2D-Fourier app wordt een 2- dimensionale Fouriertransformatie genomen: die van een vlak. De rode pieken uit bovenstaande afbeelding (maximaal voorkomen van een frequentie) worden in de App weergegeven als wit, terwijl het ontbreken van signaal of een bepaalde frequentie zwart oplevert.
In de iPhone app kan tussen het oorspronkelijke beeld en zijn Fouriergetransformeerde worden gesprongen met de pijltjes in de onderbalk. Ook nu kan de linker afbeelding volledig gereconstrueerd worden uit het rechter beeld (en andersom).
De iPad app toont het origineel (image-space) en zijn Fouriergetransformeerde (k-space) op hetzelfde moment naast elkaar. In een aparte background-thread worden beide beelden synchroon gehouden. De gebruikte (geoptimaliseerde) Fast-Fourier-Transform zorgt ervoor dat de Fourieranalyse in realtime kan worden uitgevoerd.
In beide versies van de app kan tenslotte zowel het originele beeld als k-space worden bewerkt door er in te tekenen (met zwart of wit). Omdat de transformatie realtime plaatsvindt zie je direct welk effect dit heeft, waardoor je langzaam gevoel krijgt voor het gedrag van Fourieranalyse (echt waar!).
Wat heb ik hier aan?
Maar wat heb je hier nu aan? Wij hadden, na enkele dagen spelen met de app, echt het idee Fourieranalyse beter te begrijpen en zagen de volgende voorbeelden:
JPEG-compressie
Indien je in k-space de hoge frequenties weggumt (de buitenkant van het beeld) zie je dat het originele beeld vager wordt. Dit is logisch: de hoge frequenties (details) zijn verdwenen. Wat daarnaast opvalt is dat scherpe randen in het orginele beeld een 'echo' krijgen. Iets wat je ook ziet bij sterk gecomprimeerde jpeg-bestanden en dat klopt: jpeg-compressie gebruikt (onder andere) een techniek gelijk aan Fouriertransformatie om hoog frequente delen te kunnen wegfilteren.
Optica
Een tweede voorbeeld komt uit de optica: als je een scherm hebt met daarin gaten (bijvoorbeeld twee spleten) dan is bij (monochromatische) belichting van dit scherm de projectie van dit beeld op een tweede scherm achter de 'dia', het Fouriergetransformeerde beeld van dit scherm. In de app kun je dit simuleren door in image-space je patroon te tekenen (twee witte balken). In k-space zie je vervolgens de bijbehorende projectie.
Quantummechanica
Tenslotte (het wordt wat gezocht) zagen we nog een link met de quantummechanica. Daarin is de golffunctie in de impulsrepresentatie de Fouriergetransformeerde van de golffunctie in de plaatsrepresentatie. Kort door de bocht: als je in wit in image-space (de 'plaatsrepresentatie') een waarschijnlijkheidsverdeling voor een deeltje tekent, vindt je in k-space een verdeling van de mogelijke impuls voor dit deeltje. Hoe preciezer (kleiner) je het witte puntje in image-space maakt, hoe vager de vlek die je in k-space ziet (en vica-versa). Plaats en impuls kunnen kortom niet beide gelijktijdig exact worden gedefinieerd: een illustratie van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.
Vragen over dit project:
 |
Reinder Nijhoff
|
